Fraktali – II deo

Fraktalna dimenzija. Poznato je da tačka ima nula dimenzija, linija jednu, ravan dve, a svet oko nas, onako kako ga mi svakodnevno posmatramo, tri dimenzije. Ovde govorimo najpre o topološkoj dimenziji. Zamislimo sada jednu liniju. Ukoliko je dupliramo u jednom (i jedinom, jer linija ima jednu dimenziju) postojećem pravcu, dobićemo duplo veći od polaznog objekta. Ukoliko kvadrat u ravni dupliramo u svakoj mogućoj dimenziji (duplo povećamo stranice kvadrata), dobićemo četiri puta veći objekat. Sličnim postupkom za kocku u prostoru dobićemo kocku osam puta veću. Dakle, ukoliko uzmemo objekat linearne dužine jednake 1 u D-dimenzionalnom prostoru i smanjimo njegovu veličinu l puta u svakoj od dimenzija, biće nam potrebno dobijenih smanjenih objekata da samoslično pokrijemo početni objekat. Odatle, topološka dimenzija posmatranog prostora data je sa , gde je , recimo, prirodni logaritam ili logaritam sa osnovom 10.

Matematički prostor koji je najbliži našim shvatanjima jeste trodimenzionalni prostor Euklidske geometrije. U Euklidskom prostoru razdaljina između dve tačke je obična prava linija. U matematici postoji uopštenje ovog prostora, metrički prostor koji je definisan skupom i razdaljinom između elemenata skupa. Odabirom te razdaljine, odnosno metrike, možemo kreirati različite oblike prostora. Tako, naprimer, Rimanova geometrija proučava zakrivljeni prostor koji predviđa Opšta teorija relativnosti. U ovakvim, drugačijim prostorima, topološka dimenzija takođe ima svoje uopštenje. Hauzdorfova (ili Hauzdorf-Besicovič) dimenzija je nenegativni realni broj koji se može povezati sa bilo kojim metričkim prostorom. Hauzdorfova dimenzija tačke je, kao i topološka, jednaka nuli, za liniju je jedan, a za ravan dva itd. Međutim, Hauzdorfova dimenzija može imati i vrednosti između celih brojeva za mnoge nepravilne skupove metričkih prostora, pa tako i za samoslične skupove – fraktale. Hauzdorfovu dimenziju kod fraktala nazivamo još i fraktalna dimenzija.

Kada je Mandelbrot po prvi put iskoristio termin fraktal, fraktal je definisao kao objekat čija je Hauzdorfova dimenzija strogo veća od topološke dimenzije. Upravo ovo je osobina fraktala podjednako bitna kao samosličnost, iako ima svoje izuzetke – krive koje popunjavaju prostor, poput Hilbertove krive, čiji oblik teži običnom dvodimenzionalnom kvadratu.

Već smo rekli da je dimenzija posmatranog prostora data sa , pri čemu, kada početni oblik smanjimo puta u svakom od prostornih pravaca, dobijamo da početni oblik možemo prekriti sa takvih umanjenih oblika. Po sličnoj formuli računamo i fraktalnu dimenziju. Uočimo da kod fraktala imamo neprestan proces umanjivanja početnog oblika (umanjivanje koje kod kvazisamosličnih i statistički samosličnih fraktala može biti praćeno i raznim drugim transformacijama). Stoga fraktalnu dimenziju definišemo kao , gde je broj koraka u konstrukciji fraktala.

Uzmimo za primer Trougao Sjerpinskog, kako bismo objasnili postupak računanja fraktalne dimenzije. U jednom koraku konstrukcije ovog fraktala stranice trougla iz prethodnog koraka smanjujemo dva puta i taj stari trougao ispunjavamo sa tri nova trougla, odnosno u ovom procesu , . Odavde za fraktalnu dimenziju Trougla Sjerpinskog dobijamo .

Slično, ukoliko uzmemo pravu liniju i isecamo središnju trećinu linija u svakom koraku dobićemo Kantorov skup fraktalne dimenzije . Za Kantorovu prašinu, odnosno Kantorov skup u tri dimenzije, možemo izračunati fraktalnu dimenziju od . Fraktalna dimenzija Kohove krive iznosi , a za Vajerštrasovu funkciju 1.5. Dimenzija ivice Mandelbrotovog i dimenzija skupa Džulija iznose 2. Menger-Sjerpinski sunđer, uopštenje Tepiha Sjerpinskog, ima fraktalnu dimenziju jednaku 2.73. Uočimo, dodatno, da je topološka dimenzija Kantorovog skupa i prašine (skupa tačaka) 0, Kohove krive (linije), Vajerštrasove funkcije, Mengerovog sunđera, obim Mandelbrotovog skupa i Džulijevog skupa. 1. Ovi fraktali, dakle, ispunjavaju uslov da im je Hauzdorfova dimenzija strogo veća od topološke. Spomenimo i jedan primer fraktala u prirodi ovom prilikom, karfiol, koji na svom poprečnom preseku daje svaki put po 13 grančica, 3 puta manjih, pa je njegova fraktalna dimenzija .

Kantorov skup                                      Vajerštrasova funkcija                     Mengerov sunđer

Multifraktali su fraktali koji se ne mogu opisati jedinstvenom fraktalnom dimenzijom, već je za to potreban kontinualni spektar takvih eksponenata kao što je dimenzija. Vratimo se na postupak izračunavanja fraktalne dimenzije. Pokazali smo da je lako izračunati fraktalnu dimenziju nekog fraktala kada poznajemo egzaktno, jednostavno geometrijsko pravilo po kome se taj fraktal konstruiše. Međutim, fraktali se mogu dobiti i kao geometrijska interpretacija rekurzivne algebarske funkcije, ili se mogu dobiti kroz neke slučajne procese. Tako za mnoge fraktale u prirodi ne možemo odrediti pravilo po kome su konstruisani. Ono što možemo približno odrediti u ovim slučajevima jeste fraktalna dimenzija, a pritom se služimo nečim što se naziva box-counting metod. Naime, formulu za fraktalnu dimenziju možemo preformulisati na sledeći način: , gde je sada linearna dužina umanjenih objekata, a ukupan broj objekata da bi se određenim pravilom prekrio početni oblik. Ovde možemo uvesti još jedan pojam, box-counting dimenziju, koja se računa po upravo navedenoj formuli, pri čemu je stranica kvadratića (ili npr. kockica i slično), a minimalni broj tolikih kvadratića potrebnih da se u potpunosti prekrije fraktal koji se ispituje. Ova dimenzija je uglavnom, ali ne i baš uvek, jednaka fraktalnoj dimenziji.

Box-counting metod je numerička metoda za nalaženje dimenzije fraktala i sam postupak je vrlo jednostavan. Iz formule uočavamo da će dimenzija fraktala biti jednaka koeficijentu prave dobijene na grafiku zavisnosti od , za što je moguće manje kvadratiće. Dakle, fraktal postavljamo na mrežu kvadratića (ukoliko se radi o fraktalu koji se iscrtava u ravni). Uzimamo različite veličine kvadratića, odnosno variramo , a zatim prebrojavamo kvadratiće u kojima se nalazi neki deo fraktalne krive, odnosno merimo . Na kraju određujemo kao i svaki koeficijent neke linearne zavisnosti.

Jedan od prvih problema o fraktalima na koje je Mandelbrot skrenuo pažnju bio je kako izračunati dužinu obale Velike Britanije. Kako je obala Velike Britanije izrazito zakrivljena, izlomljena linija, ona ispoljava fraktalne osobine, a dužine fraktalnih krivi su teoretski beskonačne. Luis Ričardson prvi je primetio pravilnost između dužine granica pojedinih zemalja i skale na kojoj iste posmatramo, odnosno linearnost funkcije od na grafiku. Na ovaj način, dakle, možemo izračunati fraktalne dimenzije granica raznih država, mereći dužine granica sve manjim i manjim dužima. Tako dobijamo da je fraktalna dimenzija obale Velike Britanije 1.25, Australije 1.13, granica Portugala, a i Nemačke 1.12. Obala Norveške, sačinjena od mnogobrojnih fjordova, ima fraktalnu dimenziju  1.52. Sa druge strane, fraktalna dimenzija granice Južne Afrike iznosi približno 1, što se lako objašnjava činjenicom da je ova linija veoma malo razlomljena, odnosno lako ju je ispitati i običnom Euklidskom geometrijom.

Druge fraktalne dimenzije koje možemo izmeriti su, naprimer, fraktalna dimenzija raspodele jata galaksija u svemiru, koja ima vrednost blisku dvojci, zatim fraktalna dimenzija zgužvanog papirića, koja iznosi 2.5 i mnoge druge. Procenjena fraktalna dimenzija brokolija iznosi 2.66, površine ljudskog mozga 2.79, a površine plućnih alveola 2.97.

Literatura:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

Slučajni tekstovi

About Marija Janković

Student Fizičkog fakulteta u Beogradu. Nekadašnja polaznica, a sada mlađi saradnik seminara fizike u Istraživačkoj stanici Petnica i jedna od urednika Viva-fizika portala. Interesovanja: prirodne nauke, informatika, fotografija, istorija i esperanto.

More Posts (55)

Share and Enjoy