Glava 2: Priroda matematike

 

 

Matematika igra centralnu ulogu u savremenoj kulturi te je za naučnu pismenost neophodno osnovno razumevanje njene prirode. Dakle, svako treba da stekne uvid u matematiku kao deo naučnog poduhvata, da razume prirodu matematičkog razmišljanja, i upozna se sa ključnim matematičkim idejama i veštinama.Matematika se oslanja na logiku i kreativnost, a izučava se zbog primene i zbog njene zanimljivosti. Nekima, ne samo profesionalnim matematičarima, matematika je očaravajuća kako zbog unutrašnjeg sklada tako i intelektualnog izazova. Ostali, pogotovu naučnici i inženjeri, matematiku izuzetno poštuju jer im neizmerno pomaže u radu.

Ovo poglavlje se bavi matematikom kao delom naučnog poduhvata, a zatim matematikom kao procesom, ili načinom razmišljanja. Preporuke u vezi sa matematičkim idejama su date u 9. poglavlju, a Svet matematike, i preporuke u vezi sa matematičkim veštinama u 12. poglavlju.

OBRASCI I ODNOSI

Matematika je nauka o obrascima (oblicima) i odnosima. Kao teorijska disciplina, matematika istražuje odnose među apstrakcijama, bez obzira da li te apstrakcije imaju dvojnike u stvarnom svetu. Apstrakcije mogu biti svakojake, od niza brojeva preko geometrijskih figura do sistema jednačina. U razmatranju pitanja, recimo, “Da li se interval između prostih brojeva menja po određenom obrascu?” kao teorijskog, matematičari su zainteresovani samo za pronalaženje obrazca ili dokaza da obrazca nema, bez interesa za primenu koju bi takvo znanje moglo da ima. Na primer, u izvođenju izraza za promenu površine nekog pravilnog tela kada njegova zapremina teži nuli, matematičare ne zanima veza između geometrijskih tela i fizičkih objekata u stvarnom svetu.

Vodeća nit istraživanja u čistoj matematici je pronalaženje malog skupa osnovnih ideja i pravila iz kojih sve druge ideje i pravila u toj oblasti mogu logički da se izvedu. Matematičari, kao i drugi naučnici, posebno se raduju kada pronađu da ranije nepovezani delovi matematike mogu da se izvedu jedni iz drugih, ili iz neke još opštije teorije. Deo lepote koju neki vide u matematici, ne leži u pronalaženju složenosti već naprotiv, u pronalaženju najjednostavnijih predstava i dokaza. Napretkom matematike, pronalaze se veze između delova koji su ranije razvijani posebno kao što je na primer, veza između algebarske simboličke i geometrijske prostorne predstave. Ove uzajamne veze omogućavaju bolji uvid u različite delove; zajedno, one jačaju veru u ispravnost i suštinsko jedinstvo cele matematičke strukture.

Matematika je takođe primenjena nauka. Brojni matematičari posvećeni su rešavanju problema koji nastaju u svetu iskustva. Oni takođe traže obrasce i odnose, i u tom procesu koriste tehnike koje su slične onima koje se koriste u domenu teorijske matematike. Razlika je uglavnom u nameri. Za razliku od teorijskih, primenjeni matematičari, u gore pomenutom primeru, bi mogli da ispituju obrasce u intervalu između prostih brojeva da bi razvili novi sistem za kodiranje podataka brojevima, a ne kao apstraktni problem. Ili se možda uhvate u koštac s problemom odnosa površine i zapremine radi izrade modela za proučavanje ponašanja kristala.

Rezultati čiste i primenjene matematike utiču jedni na druge. Naime, često se ispostavi da otkrića teorijskih matematičara – ponekad decenijama kasnije –  imaju neočekivanu praktičnu primenu. Na primer, ispitivanje matematičkih osobina slučajnih događaja kasnije je omogućilo poboljšanje oblikovanja eksperimenata u društvenim i prirodnim naukama. I obrnuto, u pokušaju da se reši problem ravnomerne i objektivne naplate telefonskih usluga u međugradskom saobraćaju, matematičari su došli do fundamentalnih otkrića u matematici složenih mreža. Čista matematika, za razliku od drugih nauka, nije ograničena na realni svet, ali dugoročno doprinosi boljem razumevanju tog sveta.

 

MATEMATIKA, NAUKA I TEHNOLOGIJA

Zbog svoje apstraktnosti, matematika je univerzalna u smislu u kojem druge oblasti ljudske misli nisu. Ona pronalazi primenu u poslovanju, industriji, muzici, istorijskim istraživanjima, politici, sportu, medicini, poljoprivredi, inženjeringu, kao i u društvenim i prirodnim naukama. Veza između matematike i osnovnih i primenjenih nauka ima dugu istoriju, posebno je jaka i između ostaloga uključujuje sledeće:

  • Nauka postavlja matematici zanimljive istraživačke probleme, a matematika nauci pruža moćne metode za analizu podataka. Često se apstraktni obrasci koje su matematičari proučavali zbog njihove zanimljivosti kasnije pokažu vrlo korisnim u nauci. I nauka i matematika pokušavaju da otkriju opšte obrasce i odnose, i u tom smislu one su deo istog poduhvata.
  • Matematika je glavni jezik nauke. Simbolički jezik matematike je izuzetno važan za nedvosmisleno izražavanje naučnih ideja. Izraz a = F/m nije samo stenografski način da se kaže da ubrzanje tela zavisi od sile kojom se deluje na njega i njegove mase, već se precizno izražava kvantitativni odnos između tih promenljivih. Još važnije, matematika nauci daje gramatiku – pravila za strogu analizu naučnih ideja i podataka.
  • Matematika i nauka imaju mnogo toga zajedničkog. To uključuje verovanje u razumljivu uređenost; uzajamno prožimanje mašte i stroge logike; ideal poštenja i otvorenosti, ključni značaj uzajamne naučne kritike; uvažavanje onoga ko je prvi napravio ključno otkriće; međunarodni karakter; čak i korišćenje moćnih elektronskih računara za otvaranje novih oblasti istraživanja.
  • Matematika i tehnologija su takođe razvili uzajamno plodne odnose. Matematika logičkih lanaca i veza, na primer, u velikoj meri je doprinela projektovanju računara i njihovom programiranju. Doprinos matematike inženjeringu je sveobuhvatan počevši od ispitivanja složenih sistema čije osobine se mogu detaljno razumeti i opisati samo računarskim oponašanjem (simulacijom). U tom oponašanju, menjaju se i nacrt i operativni uslovi na osnovu čega se pronalaze najpovoljnija inženjerska rešenja. Pokrenuta inženjerskim potrebama, računarska tehnologija je, sa svoje strane, otvorila potpuno nove oblasti u matematici, čak i u izvođenju dokaza, a takođe je od ogromne pomoći u rešavanju ranije zastrašujuće teških problema.

 

MATEMATIČKO ISPITIVANJE

Korišćenje matematike za izražavanje ideja ili rešavanje problema uključuje najmanje tri faze: (1) apstraktno prikazivanje izvesnog aspekta ispitivane stvari, (2) manipulacija apstrakcija pravilima logike ne bi li se pronašli novi odnosi među njima, i (3) provera da li pronađeni novi odnosi možda kazuju nešto korisno o stvarima od kojih se pošlo.

Apstrakcija i simboličko predstavljanje

Matematičko razmišljanje često počinje procesom apstrahovanja detalja tj, uočavanjem sličnosti između dva ili više predmeta ili događaja. Ono što je zajedničko tim predmetima ili događajima, bilo konkretno ili hipotetičko, može da se predstavi simbolima kao što su brojevi, slova (ili drugi znaci), dijagrami, geometrijske konstrukcije, ili čak i reči. Celi brojevi su apstrakcije kojima se predstavljaju veličine skupova stvari i događaja, ili poredak stvari u skupu. Krug, kao pojam, je apstrakcija ljudskog lica, cveta, točka, ili širenja talasa na površini mirne vode; slovo A može biti apstrakcija za površinu objekata bilo kakvog oblika, za ubrzanje pokretnih objekata, ili za skup svih objekata koji imaju izvesne odabrane osobine iste; simbol + predstavlja proces sabiranja, bez obzira da li se radi o jabukama, pomorandžama, satima, ili kilometrima na sat. Apstrakcije se prave ne samo od konkretnih objekata ili procesa, nego i od drugih apstrakcija, kao što su vrste brojeva (od svih brojeva biraju se samo parni, na primer).

Takva apstrakcija omogućava matematičarima da se koncentrišu na bitne odlike problema i oslobađa ih potrebe da druge manje važne stvari drže na umu. Što se matematike tiče, nije bitno da li trougao predstavlja površinu jedra ili konvergenciju dve linije viđenja (lines of sight) na zvezdu; matematičari rade sa svakim konceptom na isti način. Takvo svođenje napora na bitno vrlo je korisno – pod uslovom da se u apstrahovanju ne izgube iz vida osobine koje imaju značajnu ulogu u određivanju ishoda događaja koji se izučavaju.

Postupci s matematičkim iskazima

Nakon što su učinjene neophodne apstrakcije i izabran način njihovog simboličkog predstavljanja, simboli mogu da se kombinuju i rekombinuju na različite načine u skladu sa tačno određenim pravilima. Nekad se to čini sa jasnim ciljem, u drugim prilikama tek da se vidi šta bi se dogodilo pod različitim okolnostima. Ponekad zgodni postupci mogu lako da se nađu intuitivno, iz značenja korišćenih reči i simbola, dok se u drugim prilikama pronalaze metodom probe i greške.

Iskazi kojima se saopštavaju nove ideje i predlozi obično nastaju kombinovanjem niza simbola. Na primer, simbol A za površinu proizvoljnog kvadrata može da se kombinuje sa simbolom s za dužinu strane kvadrata da se formuliše iskaz A = s^2. Ova jednačina utvrđuje kako se površina kvadrata odnosi prema njegovim stranama a takođe nagoveštava da površina ne zavisi ni od čega drugog. Tada korišćenjem pravila obične algebre može da se otkrije da dupliranje dužine stranice kvadrata, povećava njegovu površinu četiri puta. Uopšte uzev, ova veza omogućava da se sazna šta se dešava sa površinom kvadtata bez obzira na to kako se menja dužina njegove strane, i obrnuto, kako promena površine utiče na dužinu strane.

Matematički uvid u apstraktne odnose razvijao se tokom hiljada godina, i ti odnosi se još uvek proširuju a ponekad i revidiraju. Iako su nastali u konkretnom iskustvu brojanja i merenja, ti odnosi su prošli kroz mnoge stepene apstrakcije i sada znatno više zavise od unutrašnje logike, nego od mehaničke demonstracije iz koje su nastali. U izvesnom smislu, manipulacija apstrakcijama je veoma slična igri: Počinje se nekim osnovnim pravilima, a zatim se povlače potezi koji se uklapaju u ta pravila – što uključuje i izmišljanje dodatnih pravila i pronalaženje novih veza među starim pravilima. Ispravnost novih ideja (veza i pravila) se proverava tako što se testira da li su u skladu sa postojećim i proverenim pravilima i da li se logično odnose prema njima.

Primena

Matematičkim postupcima dolazi se do modela iz kojeg se stiče bolji uvid u samu stvar ili proces koji se modelira. Matematički odnos do kojeg se stiže manipulacijom apstraktnih iskaza ne saopštava uvek nešto istinito o stvari koja se modeluje. Na primer, ako imamo 2 čaše vode pa im dodamo još  3 čaše vode i za izračunavanje rezultata upotrebimo apstraktnu matematičku operaciju 2 +3 = 5 dobijamo tačan odgovor,  5 čaša vode. Međutim, ako 2 šolje šećera dodamo u 3 šolje toplog čaja i upotrebimo istu operaciju, 5 je pogrešan odgovor – u takvom dodavanju rezultat je zapravo samo nešto više od 4 šolje preslađenog čaja. Očigledno, prosto sabiranje zapremina je ispravno za prvu, ali ne i za drugu situaciju – što smo mogli i sami da predvidimo znajući samo malo o fizičkohemijskim razlikama među navedenim slučajevima. Dakle, da bi matematika mogla da se koristi i tumači valjano pored matematičke ispravnosti apstraktnih operacija treba imati u vidu i druge važne elemente i uzeti u obzir koliko dobro matematičke operacije odgovaraju svojstvima stvari koje predstavljaju.

Ponekad je dovoljan zdrav razum da se oceni da li su matematički rezultati zadovoljavajući. Recimo, želimo da procenimo koliko će kroz 20 godina biti visoka devojčice koja danas ima 172 cm i koja raste 2,5 cm godišnje. Dovoljan je zdrav razum da se odbije prost odgovor   222 cm, dobijen postupkom “vreme puta brzina”. Umesto toga treba potražiti neki drugi matematički model, u kojem bi se tokom vremena izračunata visina približavala nekoj graničnoj vrednosti. U ovom slučaju to bi bila vrednost najverovatnije nešto ispod dva metra. Ponekad, međutim, nema lakog rešenja ni modela jer je teško predvideti gde leži odgovarajući matematički rezultat – na primer, kada se pokušava predviđanje berzanskih cena, klimatskih promena ili zemljotresa.

Vrlo često prvi pokušaj matematičkog razmatranja ne dovodi do zadovoljavajućih zaključaka, pa se pokušava ispočetka novom formulacijom problema ili novim operacijama. Zaista, često ima lutanja, prave se skokovi s jednog postupka na drugi, ukratko, ne postoje pravila koja određuju kako se stiže do rešenja. Stoga se traženje rešenja često odvija krivudavo, krene pa stane, sa mnogo ćorsokaka, pa se kreće iz početka… i tako sve dok se ne dobije dovoljno dobar rezultat.

Ali, koji je to dovoljno dobar rezultat? Odgovor zavisi od toga kako će rezultat biti korišćen, od toga koje su posledice učinjene greške, i od toga koliko treba sredstava uložiti za izračunavanje i modelovanje preciznijeg odgovora. Na primer, greška od 1 odsto u izračunavanju količine šećera u receptu za tortu verovatno je nebitna, dok slična greška u izračunavanju putanje svemirske sonde može biti katastrofalna. Zato je pitanje “koji rezultat je dovoljno dobar” od velikog značaja što je podstaklo razvoj posebnih matematičkih postupaka za procenu greške izračunavanja i procenu napora potrebnog da se postigne željena tačnost.

 

Slider by webdesign