«

»

Feb 06

O prostim brojevima i nekim otvorenim pitanjima o njima

Uvodna riječ

U ovom kratkom članku iznijet ću neke istine o prostim brojevima kao i neke slutnje koje još uvijek nisu dokazane, jer, tko zna, možda ih baš netko od čitatelja ovog članka jednog dana dokaže, ako se zaljubi u matematiku i spoznaje do kojih se dolazi unutar nje. Onaj tko se bude ozbiljnije bavio sa prostim brojevima, ili općenitije, teorijom brojeva, uočit će kako su prosti brojevi na najrazličitije načine prisutni u mnogim granama teorije brojeva i spoznaje o njima mogu rasvijetlit neka pitanja na koja se odgovor još uvijek ne zna.


Prosti brojevi: definicija, fundamentalni teorem aritmetike,  neka multiplikativna i aditivna svojstva prostih brojeva

Ako nekome nije poznato, prosti brojevi su oni prirodni brojevi veći od broja 1 koji su djeljivi samo sa sobom i sa brojem 1. Na primjer, 7 je prost broj jer je djeljiv samo sa 7 i sa 1 a 9 nije prost jer je djeljiv sa 1 i 9 i 3.  Prosti brojevi se, na neki način, mogu promatrat kao „građevne jedinice“ koje možemo rabit na takav način da pomoću njih prikažemo (u multiplikativnom smislu) bilo koji složeni broj (složeni broj je prirodni broj veći od broja 1 koji nije prost).  Što ovdje znači „u multiplikativnom smislu“? To znači da ako bismo odabrali koji god želimo složen broj onda bismo ga mogli prikazat kao umnožak prostih brojeva. Prirodno je zapitat se da li je taj prikaz jedinstven, to jest da li postoji neki složen broj koji se može prikazat na dva različita načina kao umnožak prostih brojeva i odgovor na to pitanje je da ne može, odnosno svaki prirodan broj veći od broja 1 je ili prost ili se na jedinstven način može prikazat kao umnožak prostih brojeva a ta činjenica se naziva „Fundamentalni teorem aritmetike“.  Osim u multiplikativnom smislu mi se možemo zapitat i koja su aditivna svojstva koja posjeduju prosti brojevi? Jedna od najpoznatijih, a možda i najpoznatija slutnja aditivnog tipa o prostim brojevima naziva se „Goldbach-ova slutnja “ i ona glasi: „Svaki paran prirodan broj veći od broja 2 može se zapisat kao zbroj dvaju prostih brojeva“. Unatoč raznim pokušajima i naporima da se ta slutnja dokaže ona je još uvijek otvorena i odgovor nije poznat, No, da ne bude sve ovako crno, ipak postoje rezultati koji su, u određenom smislu, ne previše udaljeni od Goldbachove slutnje. Chen Jingrun je dokazao da se svaki dovoljno velik paran prirodan broj može zapisat ili kao suma dva prosta broja ili kao suma prostog i poluprostog broja (poluprost broj je broj koji je jednak umnošku dva prosta broja) a koje su opstrukcije prisutne zbog kojih umjesto „poluprost“ ne stoji „prost“ to mi nije poznato. “Goldbachova slabija slutnja (Goldbach´s weak conjecture)” je prije nekoliko godina dokazana a glasi:  „Svaki neparan broj veći od 5 može se zapisat kao suma 3 prosta broja“.


Polignac-ova slutnja i Zhang-ov rezultat

Ako promatramo niz prostih brojeva (kojih naravno ima beskonačno i to je veoma lako dokazivo) onda možemo primjetit da se znaju pojavit prosti brojevi takvi da je jedan za 2 veći od drugoga (na primjer 11 i 13) i ne uočavaju se razlozi zašto takvih parova ne bi bilo beskonačno mnogo? Mislim da se i vjeruje da ih ima beskonačno mnogo ali to još nije dokazano. Ta slutnja da tih parova ima beskonačno mnogo naziva se „slutnja prostih blizanaca (twin prime conjecture)“. Ali zašto mi to nebi još išli uopćit pa spomenuli i „Polignac-ovu slutnju“ koja kaže: „Za svaki paran prirodan broj 2k postoji beskonačno mnogo parova uzastopnih prostih brojeva takvih da je razlika između njih jednaka 2k“. Primjetimo da je slutnja prostih blizanaca specijalan slučaj Polignac-ove slutnje koja se dobije za k=1. Yitang Zhang  je prije nekoliko godina iznenadio matematičku javnost na način da je dokazao da postoji beskonačno mnogo parova uzastopnih prostih brojeva čija je razlika neki broj manji od 70 000 000. Iako je Zhangov rezultat jedan lijep korak naprijed Polignacova slutnja je, onoliko malo koliko mi je poznato, daleko izvan dohvata. Ali ako bi Polignacova slutnja bila istinita (ja vjerujem da je) to bi pokazalo da postoji stanovita i neobična pravilnost u skupu prostih brojeva koji se, na prvi pogled, ponašaju naizgled nasumično, no zapravo mora postojat neki red u tom skupu koliko god on kaotično izgledao. Sljedeće pitanje koje bi netko mogao postaviti je: „Da li postoji maksimalna razlika između uzastopnih prostih brojeva?“. Kad bi ona postojala, onda, očito, Polignacova slutnja nebi bila istinita za svaki paran prirodan broj 2k, i, što je lako dokazivo, maksimalna razlika ne postoji. Drugim riječima, uvijek u nizu prirodnih brojeva postoji proizvoljno velik (ili malen) broj složenih brojeva koji su uzastopni. Ako želimo, na primjer, 1000000000000000000000000000000000 složenih brojeva koji su uzastopni (to jest, nema prostih brojeva između njih) nije ih nikakav problem konstruirat.


Neki primjeri prostih brojeva specijalnog oblika

Postoje i neke slutnje o prostosti brojeva specijalnog oblika, kao prvi primjer mogu navesti Mersenneove brojeve a to su brojevi koji su za 1 manji od neke potencije broja 2 i neki od njih su prosti, na primjer 7 je Mersenneov prost broj jer je jednak 8-1 a 8 je potencija broja 2. Pitanje da li Mersenneovih prostih brojeva ima beskonačno mnogo je otvoreno a kad bi se riješilo to pitanje onda bi se znalo i da li parnih savršenih brojeva ima konačno ili beskonačno jer svaki Mersenneov prost broj generira jedan paran savršen broj a savršen broj je broj koji je jednak zbroju svih svojih djelitelja manjih od samoga sebe (6 je savršen broj jer imamo 6=1+2+3).  Još jedan neriješen problem je „problem prostih brojeva Sophie Germain“ a kaže se da je prost broj p prost broj Sophie Germain ako su i p i 2p+1 prosti brojevi. Slutnja je da ima beskonačno mnogo takvih prostih brojeva p ali to nije ni dokazano ni opovrgnuto.  Na primjer, 3 je prost broj Sophie Germain jer su i 3 i 2*3+1=7 prosti brojevi. Dalje, postoje i „palindromni prosti brojevi“  a to su prosti brojevi koji su, zapisani u nekoj bazi, isti bez obzira čitali ih s lijeva na desno ili s desna na lijevo. Ovo su primjeri nekih decimalnih palindromnih prostih brojeva: 181, 727, 929 a da li ih ima beskonačno mnogo u, na primjer, bazi 10, pogađate – ne zna se  Ovdje je baza bitna jer se isti broj u različitim bazama zapisuje na različite načine pa tako broj koji je palindroman u jednoj bazi nije nužno palindroman u nekoj drugoj bazi.


Famozni Dirichlet-ov rezultat i poopćenja; Legendre-ova slutnja

Ako bismo odabrali dva prirodna broja a i b onda bi mogli definirat niz a(n)=an+b (to je jednostavno linearna funkcija čija je domena skup prirodnih brojeva) i mogli bi se zapitat da li za svaki a i b niz a(n)=an+b sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva. Očito je da a i b ne smiju biti djeljivi sa nekim brojem većim od 1 jer ako bi neki m>1 dijelio a i dijelio b onda bi on dijelio i an+b za svaki prirodan broj n. Ali ako a i b nemaju zajedničkog djelitelja većeg od broja 1 onda postoji spektakularan Dirichletov rezultat koji kaže da će niz a(n)=an+b uvijek sadržavat beskonačno mnogo prostih brojeva. Ali što je s polinomima većeg stupnja (linearna funkcija je polinom prvog stupnja)?  Za polinome većeg stupnja od 1 nije poznato da li takvi polinomi (uz određene prirodne uvjete) sadrže beskonačno mnogo prostih brojeva i slutnja koja se bavi sa tim naziva se „Bunyakovsky-eva slutnja“. Čak i za jednostavan niz b(n)=n^2+1 (čitati kao: n na kvadrat plus 1 (^ označava potenciranje)) nije poznato sadrži li on beskonačno mnogo prostih brojeva.  Još jedna zanimljiva slutnja koju bi trebalo spomenuti je „Legendre-ova slutnja“ a ona glasi: „Za svaki prirodan broj n postoji barem jedan prost broj između n^2 (n na kvadrat) i (n+1)^2 ((n+1) na kvadrat). “  a da li je tako ne zna se.


Završna riječ

Za kraj, spomenimo i da postoji veza između prostih brojeva i Riemannove hipoteze (famoznog još uvijek neriješenog matematičkog problema koji se bavi nultočkama Riemannove zeta funkcije) a ta veza se očituje u tome da postoji problem koji je ekvivalentan Riemannovoj hipotezi a koji daje neke informacije o funkciji koja se zove „funkcija brojačica prostih brojeva (prime counting function)“ i čija se vrijednost poveća za 1 kad na pravcu naiđemo na prost broj i ta vrijednost ostaje konstantna sve dok ne naiđemo na slijedeći prost broj (ta funkcija je stepenasta, to jest po dijelovima konstantna) ali priča o tome bi, bar u nekim aspektima, išla van okvira popularizatorske naravi ovog članka.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Slider by webdesign