Konceptualni problem

[Andrej]

Kako da ne. Mene zadivljuje činjenica da moment impulsa kuglice mora biti održan. Voleo bih da mogu kao i vi, da se bavim matematičkim proračunom ali nisam tome naučen.

[Mate]

Mene zadivljuje činjenica da moment impulsa kuglice mora biti održan.

Je l' da. I mene isto. Ne samo da je sačuvam u klasičnoj fizici, očuvan je i u kvantnoj, ali u drugačijoj formi (ne u potpunosti) zbog nekomutirajućih vrijednosti, ali to je druga priča. Dakle, neke stvari, kao zakon očuvanja kutne količine gibanja, su fundametnalni fizikalni zakoni. Zakonu očuvanja su nešto najdivnije i mogu se izvesti iz translacija prostora i vremena, ali i to je druga priča.

[Andrej]

Mene to sve fascinira. Prostor-vreme je još uvek nešto tajanstveno. Prostor ili vreme samo za sebe, tj. odvojeno i posebno, nisu apsolutne veličine ali zajedno prostor-vreme je apsolutno.

Na primer, može neko da se kreće kroz svemir bilo kojom brzinom ali sve dok se kreće ravnomerno pravolinijski on zapravo miruje. U odnosu na sve druge objekte, taj koji se kreće možda zapravo miruje dok se svi drugi kreću. Ta relativnost odnosi se i na pojam vremena.

Međutim, telo koje rotira, čak i u praznom kosmosu, oseća dejstvo u odnosu na prostor-vreme. Svaka čestica, od kvanta do složenih materijalnih oblika, učestvuje u izvesnom sopstvenom iskustvu u odnosu na prostor-vreme.

[Andrej]

Na jednom drugom forumu postaljeno je zanimljivo pitanje:

e sad sam radoznao: sta ako bismo umesto kuglice pustili zrak svetlosti - negde sam procitao da za svetlost ne vazi zakon sabiranja brzina?

[Andrej]

Ako može Mate da izračuna sledeće bio bih veoma zahvalan.

Koliko bi kuglica pala udaljeno od tornja ako je toranj visok 6 hiljada km?

[Iva]

Koliko bi kuglica pala udaljeno od tornja ako je toranj visok 6 hiljada km?

6000km, jesi li siguran da si to hteo reći? Gravitaciono polje nije ni približno iste jačine na dnu tornja i njegovom vrhu.

[fizikohemičar]

Ovde tražimo rešenje a kad ga nadjemo, onda ćemo s novim pitanjima. Fokus molim!

Moje rešenje (napamet) ne valja jer ne uključuje vreme padanja kuglice. Ja sam jedinino našao pravu razliku brzina na dnu tornja ali to nije dovoljno jer je ta brzina funkcija visine a predjeni put i funkcija vremena.

Rešenje koje Mate nudi nije dobro jer Ajfelova kula nije na ekvatoru pa je periferna brzina manja za
cos(teta)
gde je teta geografska širina, za Pariz oko 45 stepeni...

Ajmo studenti s rešenjima, makar i pogrešnim.
Na greškama se uči!

[Andrej]

Je li makar važi poenta da kuglica pada u levu stranu od tornja?

[fizikohemičar]

Zbog održanja ugaonog momenta, (m*v*r = const.)& kuglica pri dnu tornja ima malo veću površinsku brzinu (kada kuglica pada smanjuje se r, a što je manje r tim mora biti veće v da bi gornji izraz ostao konstantan) nego kada je bila na vrhu.

Dakle, kuglica u padu prestiže toranj.


Jedino nam je još preostalo da vidimo tačno koliko, da li 1,5 cm ili 15 cm ili ...

______________________
& Ili

m*v*r = m*v*r*r/r = m*(r^2)*v/r = I*omega = const.

m masa kuglice, u ovom slučaju konstantna
v linearna (površinska) brzina kuglice
r radijus putanje kuglice (radijus Zemlje + trenutna visina na kojoj je kuglica)
I moment inercije, m(r*r)
omega ugaona brzina

Padom kuglice njen moment inercije opada pa da bi ugaoni moment ostao očuvan, mora da raste njena ugaona brzina, dakle, kuglica na dnu tornja brže rotira nego što je rotirala kada je bila na njegovom vrhu.

[Andrej]

Postoji nesporazum povodom ovog pitanja. Neki kažu da je tačan odgovor ,,ispod tornja'' zato što kuglica sa te visine ipak padne u prostor između nogara tornja. Dakle, to je opet ispod tornja. Suviše su komplikovani ljudi da bi im se ugodilo.

Razmišljam sada kolika bi bila potrebna visina da kuglica zaista padne pored tornja, tj. ,,levo od tornja''? Razmak nogara tornja u Parizu je oko 100m. Guglica se ispušta sa sredine, tj. sa vrha koji je sredina tornja. To je razdaljina od 50m koju kuglica treba da prođe.

Dakle, sa koje visine kuglica treba da se ispusti iznad tornja da bi zaista pala pored, levo od tornja?

[fizikohemičar]

1. Prvi način

t=sqr(2*h/g)
o=v/r=const.
R=r+h
V=o*R
Vr=V-v
x=Vr*t=0.16m

2. Drugi način

t=sqr(2*h/g)
v=2*pi*r/T
V=2*pi*(r+h)/T
Vr=V-v
x=Vr*t=0.16m

P.S. naravno, uzete su i neke aproksimacije kod geometrije i sl.

Ali nisi uzeo u obzir najvažnije, a to je da je ugaona brzina kuglice funkcija visine na kojoj se nalazi a visina je funkcija vremena (pošto je kuglica u slobodnom padu). Dakle, umesto maksimalne, treba uzeti SREDNJU brzinu, znači, pravo rešenje je 1/3 ovoga gore. A ako se uzme da je Pariz na 45 stepeni geografske širine onda još treba rešenje pomnožiti sa polovinom korena iz 2.

Znači
x = 16 cm 0,70/3 ~= 3,8 cm.

Ispada da sam pogadjanjem pogrešio ~2.5 a Mate računom više od 4 puta.

[Andrej]

Kako možete oceniti ovo rešenje sa drugog foruma:

Zanemaruje se otpor vazduha, uticaj vetra, masa kuglice... itd.

Kuglica je ispuštena sa neke visine duž glavne ose Ajfelovog tornja, tačno sa vrha. Pitanje je gde će kuglica pasti u odnosu na tačku (A) koja predstavlja presek ose tornja i površine Zemlje („tačka pravo ispod tornja“)?

Kuglica odmah nakon odvajanja ima tangecijalnu brzinu V. Ona je određena ugaonom brzinom - koju ima svaka tačka na planeti Zemlji (O), i najkraćim rastojanjem kuglice od ose rotacije (P):
V=O P

Ta brzina je veća od tangencijalne brzine tačke A, pa bi prema tome kuglica trebalo da padne istočno od te tačke.

(Obratimo pažnju da najkraće rastojanje kuglice od ose rotacije (P) ne predstavlja zbir srednjeg poluprečnika planete Zemlje i visine Ajfelovog tornja,kao što bi u prvi mah pomislili. Pariz se nalazi na 48st 51min severne geogr. širine...)

P nije jednako ni zbiru udaljenosti Pariza od ose rotacije (R) i visine Ajfelovog tornja (h) zato što one ne leže na istoj pravoj. Sa slike se vidi da je:

P= (r+h) cos T ;

dok je

R= r cosT = 4263037,07 m

gde je T ugao od 48st51min, a r- srednji poluprečnik planete Zemlje (skoro da je jednak udaljenosti Pariza od centra planete ; cosT=0,669136)



Odatle je: V= O (r+h) cosT = 332,5338 m/s,

jer je ugaona brzina Zemlje: O=7,8 E-5 rad/s.

Prema zakonu održanja momenta impulsa, dok kuglica pada smanjuje se rastojanje P, a povećava se brzina V, tako da je:

P V=P2 V2 = const.

Koliko iznosi V2?

V2=PV/P2 =PV/R = (r+h)V/ r = 332,5507 m/s

jer je P2 približno jednako R, tj. pretpostavljamo da kuglica neće pasti predaleko.

Vidimo da je promena brzine kuglice V2-V= 0,017m/s.



Vreme potrebno kuglici da padne je (približno):

t=kkoren(2h/g) = 8,13 s

Uzeli smo: h=324m –visina sa koje je kuglica ispuštena; g=9,81m/s^2.

Vrednost „horizontalne komponente“ ubrzanja kuglice je:

a=(V2-V)/t =0,002m/s^2

Tangencijalna brzina tačke A u Parizu je:

V(A)=OR= 332,5169 m/s.

Uzmimo u obzir da je S(A)-pređeni put tačke A (dužina luka) zanemarljivo mali u odnosu na zakrivljenost planete. Zato uzimamo da se i kuglica i tačka A kreću pravolinijski. (Slika iznad je iskarikirana.)

Pređeni put kuglice duž „horizontalne ose“:

S= Vt+at^2/2 = 2703,566 m

Pređeni put tačke A :

S(A)=V(A)t = 2703, 362 m

Razlika je: S-S(A)= 0,204m.

- - -
Znači, kuglica će pasti istočno od tačke A i to na rastojanju od oko 20cm.

[trifo]

Mozda zanimljiv tekst povezan sa Galileovim bacanjem kuglica sa tornja u pizi. Naravno nema veze sa resenjem problema gore...
http://science.nasa.gov/science-news/sc ... arranging/

[trifo]

A evo i da dam neki doprinos, barem sam nasao... The Eiffel Tower is at latitude 48° 51' 32''. Its top floor is 309.63 m above surrounding grounds. The local value of g in Paris is 9.80991 m/s2.
Neglecting air drag, a marble dropped from the top floor of the Eiffel Tower would hit the ground 118 mm east of the dropping vertical, after a fall lasting about 7.9452 s.
Air resistance (no wind!) would only slow down the fall, thus increasing the deviation to the east in direct proportion to the increase in duration.
Dx = (14.8548 mm/s) Dt

A evo i izvora...
http://www.numericana.com/answer/physics.htm
negde pri dnu strane...

[fizikohemičar]

Evo, ovako:

Ako je

Visina sa koje se kuglica baca jednaka visini Ajfelove kule
h = 324 m

Geografska širina Pariza

alfa = 48 Degree + 51 ArcMinute + 32 ArcSecond

radijus Zemlje kod Pariza

R = 6366,05 km*

Radijalna komponenta Ubrzanja Zemljine teže u Parizu

g = 9,81284 m/s/s

Nalazimo da je vreme pada kuglice

tP = sqrt(2h-g) = 7,82195 s

m - masa kuglice
v - tangencijalna brzina na rasdijusu r
r - radijus putanje kuglice
omega - ugaona brzina kuglice

Za kuglicu mora da važi zakon održanja ugaonog momenta odakle seldi da je

m*v*r = m*omega*r*r = const.

Uzimamo da je masa kuglice konstantna pa je onda po zakonu održanja

v*r = omega*r*r = const.

dakle proizvod omega*r*r mora biti konstanta a ne omega*r kako se navodi u jednom od rešenja.

Brzina kuglice na vrhu Ajfelove kule, dakle, pre nego što je bačena, u odnosu na površinu Zemlje jednaka je nuli.


tangencijalna brzina Zemlje

v0Z = cos(alfa)*2*Pi*R/86400 = 304,584 m/s

Brzina kuglice na dnu Ajfelove kule je

v0 = v0Z * h/R = 4,51442 cm/s

Otklon kuglice, s, (od vertikalne tačke gde bi pala da nema zemljine rotacije) nalazimo iz proizvoda njene srednje tangencijalne brzine i vremena njenog pada:

s = v_sr*tP

A sada najvažnije: kuglica ne pada konstantnom brzinom nego s konstantnim ubrzanjem, te zato njena srednja brzina nije (1/2)*v0 nego (1/3)*v0 pa je

s = (1/3)*v0*tP = 4,19904 cm

Dakle, svaki račun mora da uzme u obzir da kuglica mnogo više vreemna provede u gornjojj polovini putanje (gde je dodatna tangencijalna brzina manja) nego u donjoj te je otuda i srednja vrednost njene tangencijalne brzine manja od 1/2 brzine pri površini Zemlje.




_______________________
* Uzimajući u obzir da je
ekvatorijalni radijus = 6378.1370 km
polarni radijus = 6356.7523 km
i geografska širina Pariza 48 51' 32''