«

»

Feb 26

Skupovi brojeva i njihova proširenja i neka svojstva tih skupova (elementarno)

Prirodni brojevi

Prirodni brojevi bi trebali svakome biti poznati, to su brojevi koje možemo definirati na ovaj način: “Prirodni broj je broj koji nam kaže koliko elemenata ima neki neprazan skup.” Skup prirodnih brojeva je skup {1,2,3,,,.k,…} i, počevši od broja 1, možemo doći do bilo kojeg prirodnog broja na način da dodajemo 1 onoliko puta koliko je to potrebno. Skup prirodnih brojeva ima neka zgodna svojstva, on je zatvoren s obzirom na zbrajanje i množenje. Što to znači? To znači da ako zbrojima dva prirodna broja ili ako pomnožimo dva prirodna broja kao rezultat uvijek dobijemo prirodni broj. I ne samo to, nego su čak te operacije komutativne i asocijativne.  Ako promatramo sve skupove realnih brojeva (o kojima će biti riječi) sa ova dva svojstva:

1) svaki od tih skupova sadrži broj 1
2) ako neki od tih skupova sadrži prirodni broj n onda on sadrži i n+1

i ako uzmemo presjek svih tih skupova onda je taj presjek skup koji je zapravo skup prirodnih brojeva, tako da je skup prirodnih brojeva zapravo “najmanji” podskup skupa realnih brojeva koji ima gore opisana dva svojstva.

Proširenje skupa prirodnih brojeva i uvođenje nule

Ako bi se našli u situaciji da sam ja u besparici i želim posudit 100 eura od tebe, onda se postavlja pitanje kako opisat kakvo je moje novčano stanje nakon što mi ti posudiš 100 eura. Ja ti neću bit dužan ništa tek kad ti vratim 100 eura, pa možemo kazat da ja, nakon šta sam posudio 100 eura zapravo imam -100 eura, to jest da sam 100 eura u minusu pa bi ovo zapravo bila samo ilustracija toga gdje se može pojavit nužnost za uvođenje negativnih brojeva. Kad ti vratim 100 eura onda sam “na nuli”, barem što se tiče tebe koji si mi posudio tih 100 eura. Još jedan primjer praktičnosti uvođenja negativnih brojeva bi bio da je položaj neke čestice u točki 5 na brojevnom pravcu i da mi rotiramo sve točke za 180 stupnjeva a koordinatni sustav ostavimo fiksnim, tada bi čestica došla na poziciju koja je udaljena za 5 od ishodišta ali bi bila lijevo od ishodišta, u točki koju mi nazivamo -5, tako da znak minus može predstavljat i suprotan smjer, desno od ishodišta je plus a lijevo je minus, u ovoj situaciji nam minus pomaže da znamo s koje je strane ishodišta točka. Nulu bi se moglo uvest vjerojatno na najrazličitije načine ali hajdemo odabrat ovaj: Ako promatramo grafove dviju funkcija (neka su iznad x-osi), i želimo izračunat integral od te dvije (integrabilne) funkcije a te dvi funkcije neka se razlikuju u samo jednoj točki onda je doprinos integralu zbog razlike u samo jednoj točki jednak nuli (jer je površina dužine jednaka nuli). Tako da, nula je veoma praktičan broj u teoretskoj domeni. Kad prirodnim brojevima pridružimo njihove suprotne brojeve (-n je suprotan od n, isto tako n je suprotan od -n) i nulu dobijemo skup cijelih brojeva {0,1,-1,2,-2,…,k,-k,…}. U tom skupu možemo definirat operaciju oduzimanja koja nije ništa drugo nego zbrajanje sa suprotnim elementom, to jest 2-5 je zapravo 2+(-5) i skup cijelih brojeva je zatvoren s obzirom na operaciju oduzimanja (i normalno, i zbrajanja i množenja).

Proširenje skupa cijelih brojeva

Ako netko piše oporuku i ako ta osoba ima tri sina kojima želi ostavit svoju imovinu onda se već tu javlja potreba za uvođenjem razlomaka (koji se još nazivaju i racionalni brojevi). Može svakome npr. dat po 1/3 ali može i jednome dat 1/6 drugome 1/3 i trećemu 1/2. Kada su u pitanju pitanja diobe nečega na jednake ili nejednake dijelove razlomci se prirodno javljaju kao nužnost za opisivanje takvih postupaka. Općenito razlomak ima oblik m/n, pri čemu je m neki cijeli broj a n je neki prirodni broj. Razlomci u sebi uključuju cijele brojeve jer se svaki cijeli broj k može zapisat u obliku k/1 (to jest kao razlomak kojem je nazivnik jednak 1). Ako izuzmemo nulu onda su razlomci zatvoreni s obzirom na novu operaciju, nazvanu dijeljenje, jer ako podijelimo bilo koja dva razlomka (od kojih je onaj u nazivniku različit od nule) ponovno dobijemo razlomak. Razlomci su također gusti na brojevnom pravcu, jer, ako odaberemo bilo koja dva različita razlomka između njih se nalazi beskonačno mnogo razlomaka. Razlomke bi mogli i upotrijebit na način da njima opišemo koliko je duga neka dužina, ali da li je duljina svake dužine racionalan broj?

A što ako razlomci nisu dovoljni za mjerenje duljine svake dužine?

Spoznaja koja dolazi čak od starogrčke škole matematike je upravo ta. Premda razlomaka ima beskonačno mnogo i premda između svaka dva razlomka ima beskonačno mnogo razlomaka ipak neke dužine imaju duljinu koja se ne može izrazit razlomkom, a brojevi koji služe za tu svrhu nazivaju se iracionalni brojevi. Ako imamo pravokutni trokut kojemu su obe katete jednake 1 onda se duljina hipotenuze ne može izrazit razlomkom nego je ona iracionalan broj. I ti iracionalni brojevi isto nisu rijetki, ima ih beskonačno mnogo i između svaka dva različita ih također ima beskonačno mnogo. Da ostanemo u duhu starogrčke matematike kažimo još da se dvije dužine nazivaju sumjerljivima ako postoji neka manja dužina kojom se te dvije dužine mogu izmjerit tako da se ta manja dužina nanosi cio broj puta, na primjer ako imamo dužinu duljine 2/3 i dužinu duljine 1/4 onda ako uzmemo dužinu duljine 1/12 sa njom možemo izmjerit dužinu duljine 2/3 tako da ovu od 1/12 nanesemo 8 puta, a za izmjerit onu od 1/4 samo ovu od 1/12 nanesemo 3 puta. Ali ako imamo jednu dužinu čija je duljina racionalan broj a drugu čija je duljina iracionalan broj onda te dvije dužine nisu sumjerljive, to jest ne možemo ih obe izmjerit sa jednakim mjerilom, ma kako ono maleno bilo.

Realni brojevi

Skup realnih brojeva je skup koji se sastoji od svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva i taj skup je temelj nad kojim se izgrađuje realna matematička analiza (analiza realnih funkcija realne varijable). Skup realnih brojeva je zatvoren i s obzirom na zbrajanje i oduzimanje i množenje i dijeljenje (osim dijeljenja sa nulom) a skup realnih brojeva rabimo i na način da smo se dogovorili da svakom realnom broju pripada jedna i samo jedna točka pravca, i obratno, da svakoj točki pravca pripada jedan i samo jedan realan broj. U skupu realnih brojeva možemo korjenovat nenegativne realne brojeve i uvijek ćemo imati rješenje koje je realan broj (na primjer to ne vrijedi u skupu razlomaka jer ako bi išli korjenovat broj 2 ne bismo ostali unutar skupa razlomaka jer korijen od broja 2 ne možemo zapisat u obliku razlomka (to jest taj broj je iracionalan)). Osim korijena, nad skupom realnih brojeva se mogu definirat najraznoraznije funkcije, od onih najjednostavnijih do spektakularno složenih. Realne brojeve rabimo pri definiciji limesa, integrala, derivacije itd itd… Integral neke integrabilne realne funkcije realne varijable nad nekim segmentom realan je broj, isto tako i derivacija. Ali, ipak nam realni brojevi nisu dovoljni da riješimo sve probleme koji se javljaju u analizi. Već kod bavljenja polinomima dolazi do toga da neki polinomi nisu rješivi nad skupom realnih brojeva.

Kompleksni brojevi

Ako imamo jednadžbu x^2+1=0 onda je sasvim jasno da ova jednadžba nema rješenja u polju realnih brojeva, jer svaki kvadrat realnog broja je nenegativan pa ako nečemu nenegativnom pribrojimo 1 sigurno ćemo dobit nešto veće od nule a ne nulu. Hajdemo zapisat ovu jednadžbu ovako: x^2=-1. Postavlja se pitanje kako neki broj pomnožit sa samim sobom da bismo došli do broja -1? Taj broj nije na realnoj osi jer se svaki broj na realnoj osi, nakon što je kvadriran, preslika u broj koji je ili nula ili desno od nule, a  -1 je lijevo od nule. No, ako uvedemo još jednu os koja prolazi ishodištem i okomita je na realnu os onda se nalazimo u ravnini u kojoj je moguća rotacije za razne kutove (na pravcu je rotacija moguća samo za neki višekratnik od 180 stupnjeva (jer samo tada točke s pravca ostaju na pravcu)). Odaberimo točku 1. Ako tu točku rotiramo za 90 stupnjeva pa novodobivenu točku rotiramo za 90 stupnjeva dobit ćemo transformaciju koja točku 1 preslikava u točku -1 (to možemo i sa dvije rotacije od -90), rotaciju za 90 stupnjeva nazivamo i a onu od -90 stupnjeva -i, i upravo i te -i su dva rješenja jednadžbe x^2+1=0. Ako sad promatramo skup brojeva koji se sastoje od dvije komponente, jedne realne a druge imaginarne (tako se zovu te komponente), to jest brojeva oblika a+bi, onda se pokazuje da je zbrajanje tih brojeva komutativno i asocijativno, da je množenje komutativno i asocijativno, te da se svaka polinomna jednadžba može riješit u polju kompleksnih brojeva, to jest da nema potrebe za proširenjem skupa kompleksnih brojeva ako nas samo interesira rješavanje polinomnih jednadžbi. No, proširenja postoje, jedno od takvih proširenja naziva se kvaternioni ali množenje kod kvaterniona nije komutativno, a, as far as I can recall, iduća poopćenja gube i neka druga svojstva (asocijativnost množenja).

Bonus: Algebarski i transcendentalni brojevi

Ako promatramo samo one polinome kojima su koeficijenti cijeli brojevi onda si možemo postavit pitanje da li je svaki realni/kompleksni broj nultočka nekog od takvih polinoma. Jer, osim šta cijelih brojeva ima beskonačno tako i stupnjeva polinoma ima beskonačno pa zašto nebi svaki realan/kompleksan broj bio nultočka nekog od takvih polinoma? Pokazuje se da stvarno nije. Brojevi koji su nultočke barem jednog polinoma sa cjelobrojim koeficijentima nazivaju se algebarski brojevi, dok oni brojevi koji nisu nultočka nijednog polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima se nazivaju transcendentalni brojevi. Naravno, i jednih i drugih ima beskonačno mnogo. Svaki razlomak je algebarski broj i neki iracionalni brojevi su algebarski brojevi, što zapravo znači da je svaki transcendentalan broj ujedno i iracionalan broj.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Slider by webdesign